【数学】公式に縛られず

こんばんは。久々の塾長ブログ更新です。

日付が変わって、もう昨日のことになりましたが、中2生2名と、高1生1名でした。

今回は、高1の数学からです。

“三乗”引く”三乗”の因数分解です。

右下の黄色で記された部分が、いわゆる「公式」となります。覚えていれば、これを一発であてはめるのもありでしょう。

しかし、ただでさえ覚えることが多すぎる高校生活。できれば、暗記よりは体得したいですよね。

急がば回れ。

ある数の和や差を三乗する展開を考え、展開で得られた数式と、今回の”三乗引く三乗”の因数分解との差をなくすように考えます。

このようにして、三乗の因数分解公式を忘れた、あるいは知らないという場合でも、力技で解答を導き出すことができます。

もちろん、公式は覚えていて損はないですが、あくまでもこれは、数学をさらに学んでいく上では通過点です。

公式を忘れたときは、どうやったら導き出せるのか考えながら答案を作るとよいですね。

授業のようす 2018.6.5

こんばんは。久々の更新となりました。
なかなかブログまで手が回らず、多忙を極めております。
申し訳ございません。
少し時間が取れましたので、授業のようすを投稿します。

6月5日 火曜日

授業の一部です。
16:30~17:30 中2予約 数学・英語

まずは数学から。教科書の「章末問題」です。

直径12cmの円の中に、2つの小さい円を内接させたとき、
大きな半円の円弧と、2つの小さい半円の円弧の和は、
どちらが短いか、という問題です。

計算だけをするのではなく、普段から式の持つ意味を
考える習慣を持つことも大切になりますね。

続いて、英語。

予定の表現”be going to”と、未来の表現”will”の、
はっきりとした区別です。

受験英語となると、「ほぼ同じ意味で書き換えなさい」
という問題がよく出されます(最近は減ったような
気もしますが)。

本来はto不定詞が関係する文章であることを、
少し触れておいた方がよいと思うのですが、
実用性優先の考え方もわからなくもないので、
それはそれとして覚えてもらうのも悪くないと思います。

ただ、やはり、いきなりbe going toを持ち出されると
「何がgoingなのか」
「willとの違いは」
という、素朴な疑問に直面することもあります。

私自身も、中2でこのセクションに触れたとき、
同様の感覚を覚えました。
ただ、当時の私は、英語の新しいことを覚えることが
好きでたまらなかったので、その疑問よりも知識欲が
先行していて、とりあえず形で覚えていたものでした。

2つの疑問は、高校で解決されることになりました。

また、willの使い方として、実は名詞の意味として
「意志」という使い方もあります。

「レストランのオーダーで使うこともある」と
ある学校の英語の先生がおっしゃっていたのを聞き、
その詳細な解説を行いました。

(こうした、生きた英語を教えてくださる先生、ありがたいですね。)

こうした、日頃の「?」に、少しずつでも答えていけるよう、
私もスキルアップのための努力を重ねたいと
改めて思いました。

第3回英数プレテスト講評

こんにちは。塾長の髙橋です。
さる3月3日、「第3回 英数プレテスト」を行いました。
難易度は前回より低くしていますが、
かといってとても易しいというわけでもありません。
それでも、4名の受験生が果敢に挑みました。
それでは、講評を行います。

第3回英数プレテスト講評

・受験者数 4名(前回対比 ±0名)

数学


 標準問題・裁量問題ともに、平均点は36点となりました。
 10段階の難易度は、2~8(標準)、4~9(裁量)です。

 大問3以降は、分野ごとの出題になっていて、小問1がその
先の問題を解くための導入になっていることがあります。また、
問題文をよく読むことで、何を問いたいのか、どんな式を立てて
解答を進めてほしいのか、わかるようになります。
 特に関数領域では、最近、2次関数の比例定数aを明示せず、
問題によってaの値を切り替える問題が多くなっています。
 実際、今年の入試問題の大問4でも、同様の問題が出題されて
いました。プレテストの大問4はかなりそっくりです。小問3で
条件に合う点の座標を求める問題は、入試本番では文字tを用いて
いましたが、プレテスト同様に、条件をうまく吟味することが
大切となり、あとは文字を置き換えるだけとなります。
 ちなみにプレテストの大問4・問3は難関私立高校に匹敵
するレベルです。この問題、間違えても解説で理解できれば
高校数学は怖くありません!

 【目標ライン】(もう入試は終わってしまいましたが…)
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 40点
・苫小牧高専   40点
・室蘭栄(普通) 36点
・室蘭清水丘   28点
・室蘭東翔    22点
・伊達緑丘    18点
・登別青嶺    15点
・伊達      15点
・室蘭工業    12点

<私立高校>
・室蘭海星    20点
・大谷室蘭    15点
(参考)
・光星(ステラ) 50点
・立命館慶祥   48点
・函館ラ・サール 48点
・北海・特進   40点
・道科学大高   28点

英語


 標準問題の平均点は46.3点(前回対比+9.55点)、
標準・裁量あわせた平均点は42.5点となりました。
 10段階の難易度は、2~7(標準)、4~9(裁量)です。

 大問3からの長文は、頭を使う問題が多かったと思います。
しかし、適語補充や並べ替えは、基本的な文法上の事柄が理解
できていれば、きちんと得点できる内容にしており、全員が
特に大きな問題なく正答できていた印象でした。
 リスニングは、第2回までは8問の出題でしたが、今回は、
本番同様9問の出題としました。比較的正答率が高く、
日頃の「英語耳」が養われていることを確認できる結果となり
ました。
 大問5の裁量問題用の長文は、高校入学後のことを見据え、
分量としてはかなり多い内容となりました。時間配分に苦労した
と思います。しかし、小問の最初のほうはしっかりと得点でき
ていて、基礎力はしっかりあることが確認できる結果となり
ました。

 【目標ライン】
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 44点
・苫小牧高専   42点
・室蘭栄(普通) 36点
・室蘭清水丘   28点
・室蘭東翔    22点
・伊達緑丘    18点
・登別青嶺    15点
・伊達      15点
・室蘭工業    12点

<私立高校>
・室蘭海星    20点
・大谷室蘭    15点
(参考)
・光星(ステラ) 54点
・立命館慶祥   52点
・函館ラ・サール 48点
・北海・特進   42点
・道科学大高   30点

【総合】 平均81点(満点120点・前回対比+4.5点)


英語の伸びが大きくなりました。

※得点目安は、インターネットや受験冊子にある偏差値を参考にしております。

授業のもよう 2018.03.09

休み時間です。

こんばんは。塾長のタカハシです。

今日は、中3生一名のみ。

マンツーマンで、高校数学の先取りです。

ダイナミックな因数分解、たすきがけ。

まるでパズルを解くようですね。

頭を使って疲れはするものの、面白い!を連発しています。

第2回 英数入試プレテスト 講評

こんばんは。塾長の髙橋です。
本日は、”第2回 英数入試プレテスト” を実施いたしました。
私立高入試前で、市外受験者もいるため、難易度は高めにしておりましたが、
みなさんとても頑張ったと思います。

第2回 英数入試プレテスト 講評

・受験者数 4名(前回対比 +1名)

数学 平均点38.75点(満点60点・前回対比+13.45点)

【難易度】
3~8/10 

【目標ライン】
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 48点
・苫小牧高専   46点
・室蘭栄(普通) 36点
・室蘭清水丘   30点
・室蘭東翔    24点
・伊達緑丘    20点
・登別青嶺    15点
・伊達      15点
・室蘭工業    12点

<私立高校>
・室蘭海星    20点
・大谷室蘭    15点
(参考)
・光星(ステラ) 56点
・立命館慶祥   50点
・函館ラ・サール 50点
・北海・特進   42点
・道科学大高   30点

【講評】
  大問1の計算問題(18点)は、やや程度が高めですが、基礎を理解していれば必ず解けるようにできています。大問2の問1は「余事象」の考え方で、すべての場合の数から該当しない場合の数を引く計算、問2は球の体積と図形の見方、問3は角度の問題でした。問2は球の直径が円柱の高さと等しくなることに注意します。
 大問3は、方程式を用いた図形・文章題です。問1は問題をよく読んで「すべての枚数」を見逃さないようにしましょう。問2は出題ミスのため全員正解としましたが、「2割引→100分の80」「あえてそのまま残して計算スピードを上げる」というスキルを意識しており、解説の中で重点的に説明しました。
 大問4は、よく出る一次関数y=ax+bと二次関数y=ax^2のグラフの問題で、オーソドックスなものを出題しました。問1は、どの場合でもまずはグラフの式を連立方程式にして解くことで、交点の座標を求められること、問2は三角形の底辺と高さの見方、問3は学力テスト(総合C)でも出題された「等積変形」です。「等積変形」では、共通になる底辺を定め、底辺の傾きと同じ傾きで、頂角の点を通る直線を導き、この直線と二次関数のグラフとの交点をとります。問2まではなんとか解けるようにしましょう。
 大問5は、「資料の活用」でしたが、問1の穴埋めは全員正解でした。問2は、平均点の算出に、階級値(階級の最小値+最大値を2で割る値)を用いること、そして求めた値を用いて、自分の言葉で正しく理由を述べることを求めました。根拠を述べさせる問題はますます多く出題されることになるでしょう。証明も含めて、しっかりと自分の言葉を組み立てる練習をしましょう。問3は「モード」つまり「最頻値」に注意です。もっとも「頻繁」に表れる数は、54点(3人)です。また、解答の際には単位に気を付けましょう。
 大問6は、相似の証明と三平方の定理の複合問題です。「A=B,B=CなのでA=C」という組み立て(三段論法)は、近年のスタンダードになっていますので、意識して答案練習をしましょう。問2は、問1が解けなくても、三平方の定理を活用すればいずれも解けます。

【次回出題予定】
 公立高校入試問題にかなり類似して出題します。基本的な内容が7割程度になるようにしますが、2017入試のように、大問1からパッと見で、数学が苦手な方には嫌になりそうな問題も出題します(わかれば簡単です)。どんな問題が出題されてもあせらない心構えができれば、今回より飛躍的に得点できるでしょう。出題範囲はもちろん全学年全範囲です。

 ※学校裁量問題採用校受験者には、学校裁量向け問題を出題します。
  新規に本テストを受験される方は事前に志望校をお知らせください。

英語 平均点36.75点(満点60点・前回対比△12.25点)

【難易度】
2~9/10 

【目標ライン】
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 46点
・苫小牧高専   42点
・室蘭栄(普通) 40点
・室蘭清水丘   30点
・室蘭東翔    22点
・伊達緑丘    22点
・登別青嶺    20点
・伊達      20点
・室蘭工業    15点

<私立高校>
・室蘭海星    32点
・大谷室蘭    15点
(参考)
・光星(ステラ) 52点
・立命館慶祥   48点
・函館ラ・サール 48点
・北海・特進   36点
・道科学大高   30点

【講評】
 私立高校受験では、かなりトリッキーな問題も出題されることを予想しており、「最高難易度問題集」に掲載されるような問題も3問程度出題しております。しかし、高難易度であっても、英語学習者としてはいずれ直面しなければならないものを出題しておりますので、頭の片隅に入れておいてください。
 大問1のリスニングは、問1は2回聞かないと難しいものです。停車駅の数、トイレ付車両の数、到着予定時刻…など、1回目のリスニングで疑問文の内容をしっかり把握して、2回目に意識を向けるとよいでしょう。問2は、選択肢がどれも微妙なものばかりです。ストレートに聞いた言葉をそのまま選ぶとひっかかります。解答と一緒にお渡ししたスクリプト(原稿)もしっかり確認しておきましょう。
 大問2は、問3の⑴までは比較的解きやすかったことでしょう。問3の⑵はpleaseの位置が文頭・文末だけではなく、Would you の直後に入ることもあります(非常にやわらかい依頼の文となります)ので、おさえておきましょう。⑶は重要熟語look forward to 名詞。今回は出題しませんでしたが、直後に「~すること」としたい場合は、不定詞ではなく動名詞になることもあわせて把握しましょう。
 大問3は、A・Bともに短い読解問題です。問1は直前の内容だけでは判断しきれないので、文脈の理解も必要となります。「どれが一番自然になるか」「if S V で終わる文の、補語・目的語の省略(口語で多い)」にも慣れておきましょう。問2は熟語go through「通り抜ける」、問3は疑問文で用いられているwill it take から It takes (will take)の形で返答しましょう。
 Bの問1”such as”は、直後に名詞を用いる例示によく用いられますので、覚えておきましょう。問2は質問文のwant to visitを活用します。季節の前にはinを用います。問3は直前の文「オホーツク海の流氷はあなたを驚かせることでしょう。そして厳しい気候も(驚かせるでしょう)」という内容から、make you astonishedを選びます。
 大問4、問1はWhichのあとの二者択一にorを用います。問2はthereとbe動詞を見て、まずThere wasを確認します。そして、副詞のhardをtriedの直後に用います。問3は「~のように」でlike、「彼がした」でhe didと答えます。問4は、はっきりと異なるア・ウ・オを除外します。本文中のuntil「~まで」は、まだなじみがないかもしれませんが、これからどんどん用いられる語句ですので、入試直後からでも慣れておくとよいでしょう。

【次回出題予定】
 大きく形式は変えませんが、リスニングは少しやさしくなる見込みです。

 ※学校裁量問題採用校受験者には、学校裁量向け問題を出題します。
  新規に本テストを受験される方は事前に志望校をお知らせください。

【総合】 平均75.5点(満点120点・前回対比+1.2点)

※得点目安は、インターネットや受験冊子にある偏差値を参考にしております。

第1回 入試プレテスト 講評

第1回 英数入試プレテストの講評を掲載します。


塾生に本日配布した内容に、詳細を加えております。

数学 平均点25.3点(満点60点)

【難易度】
3~8/10 

【目標ライン】
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 48点
・苫小牧高専   46点
・室蘭栄(普通) 36点
・室蘭清水丘   30点
・室蘭東翔    22点
・伊達緑丘    20点
・登別青嶺    15点
・伊達      15点
・室蘭工業    12点

<私立高校>
・室蘭海星    30点
・大谷室蘭    15点
(参考)
・立命館慶祥   54点
・函館ラ・サール 52点
・北海      42点

【講評】
  大問1~4までは、ところどころ私立高向け新傾向の問題を交えながらも、基本的には得点しやすく作っていました。昨年は大問2の問3(a*b)の問題が私立高で出題されましたが、自発的に仮定・検証を行うことも新しい教育制度の中で期待されていることから、公立高入試でも出題の可能性が十分にあるとにらんでいます。
 このような新傾向問題も少しずつ取り入れ、私立・公立いずれの入試においても、試験当日にどんな問題を見ても「見たことがある!」という気持ちを持っていると、試験時間45分間の、心の持ち方も変わるのではないかと思います。
 資料の活用から出題した大問5は、最低限、相対度数と平均の算出方法はおさえておきましょう。また、大問6は、図形の総合的な知識・表現力を問うものを出題しました。円周角と中心角、二等辺三角形の条件、円の接線、三角形の内角の和と外角が、今回のポイントです。問2の二等辺三角形は「2辺の長さが同じ⇔2つの底角の大きさが同じ」、問3は「中心角と直角三角形」がポイントです。

【次回出題予定】
 出題傾向には、大幅な変更はありません。ただし、私立入試直前ですので、三平方の定理を含む全範囲が試験範囲となります。特に、「資料の活用」「1次関数と2次関数」「図形の証明」は再度出題します。
 「資料の活用」には、簡潔に答えさせる記述もあります。資料から、どんなことがいえるかという見方で学習されることを期待します。

英語 平均点49.0点(満点60点)

【難易度】
2~8/10 

【目標ライン】
<公立高校(胆振西)・高専>
・室蘭栄(理数) 48点
・苫小牧高専   44点
・室蘭栄(普通) 40点
・室蘭清水丘   32点
・室蘭東翔    24点
・伊達緑丘    22点
・登別青嶺    18点
・伊達      18点
・室蘭工業    15点

<私立高校>
・室蘭海星    36点
・大谷室蘭    20点
(参考)
・立命館慶祥   56点
・函館ラ・サール 54点
・北海      48点

【講評】
  室蘭以外の私立高入試や、学校裁量(本テスト受験者での学校裁量問題解答者はありませんが)、さらには英語の表現力に自信をつけてもらうために、かんたんな英作文を用意しました。実際は6点程度の配点ですが、今回は4点の配点にしております。細かな語法の解説は若干必要かとは思いましたが、みなさん概ね良好でした。
 今回の出題内容は、難関校でもある程度通用するレベルで、普通に受験すると40点に届けば「御の字」というものだったと思いますが、みなさんがこのラインを越えていますので、相当実力をつけていると感じ、うれしく思います。
 表現として習っていないものについては、文や語句の前後関係から推測して解答する必要があるものも出題されます。公立高校入試ではなるべく教科書に忠実に出題されますが、もし習っていても自信がない語句に遭遇しても、「前後関係から推測する」というスキルが活きてきますので、その訓練にもつながることを意識して出題しました。
  また、長文は特に、公立高校の管轄は北海道になるので、「2018年=北海道発足150年」に関連したり意識したような問題の出題が予想されます。読解スキルだけではなく、免疫としての周辺知識に、先に触れておくことで、試験中の心の余裕が生まれることを期待します。

【次回出題予定】
 大きく形式は変えませんが、英作文は除外します。講習修了テストと同様になることを想定しています。

【総合】 平均74.3点(満点120点)

※得点目安は、インターネットや受験冊子にある偏差値を参考にしております。

【挑戦状の答え】問3解答・解説

こんにちは。塾長の髙橋です。
おかげさまで、昨日2017年の最終授業を実施することができました。
1月4日の営業開始日で、3年目を迎えるに至ります。
これもひとえに皆様のご厚情のおかげでございます。
誠にありがとうございます。

さて、以前出題した「塾長からの挑戦状」問3の解答・解説を致します。少し時間が空いてしまい、申し訳ありません。

出題の意図


面積を求めたい三角形が軸をまたぐ場合、
軸で分割して、底辺や高さを導くとよい
ということです。

まず、2つのグラフの交点を導きます。

グラフの交点→連立方程式!

さて、一次関数のグラフの切片をCとおくと、線分OCを底辺とする2つの三角形が見えてきます。
これを底辺とする2つの三角形の高さ、つまり、それぞれの「x座標」を求めるとよいことになります。
(この図はあとでもう一度表示します)

計算については、前の問題の条件を活かすと、明らかにしたい解はあと1つであることがわかります。
√17>4であるので、点Bのx座標は正のもの、つまり (-1±√17)/2 であるとわかります。
ここまでわかれば、それぞれの交点のy座標を求めるという手間は必要ありません。

すると、底辺がOCである2つの三角形の高さである、A,Bのそれぞれのx座標がわかります。

ここで、△ACOの面積計算で、点Aのx座標が「負」であるからといって、そのまま「負」の値を使わないようにすることが大切です。
あくまでも「高さ」は「距離」ですので、「正」の値に変換しなければなりません。

これらを計算すると、最後は「今までの計算は何だったのか」、または「すっきりした!」というような答えにたどり着きます。

「今までの計算は何だったのか」というように感じられる方は、まだひょっとすると数学アレルギーが抜けていないかもしれません。必要でしたら、いっしょにアレルギーを克服しましょう。
次第に、「すっきりした!」という快感が得られるようになります。そうなると、数学ファンの世界へようこそ、となります。

ご覧頂き、ありがとうございました。

【挑戦状の答え】問2解答・解説

こんばんは。塾長の髙橋です。
今日は、14:00~17:00の通常授業と、
18:00~20:00の今年最後の移動授業でした。
今日の通常授業では、中3生の英語、数学の
問題演習と解説が中心となりました。
移動授業では、中1生の数学の基礎の復習です。

さて、今日は、以前出題した「塾長からの挑戦状
問2の解答・解説を行いたいと思います。

出題の意図


文字やルートが表れても、落ち着いて対処できるようにする。

まず、点Aのx座標がわかっているので、定数aがわかっている式
y=-1/2x+2 に、点Aのx座標を代入します。
ルートがあらわれても、おちついて・・・

すると、点Aのy座標が姿をあらわします。
x座標、y座標があらわれたので、定数aを求めるために、
二次関数の式に代入をします。

3行目であらわれた左辺と右辺を、4行目で入れ替えし、
共通因数の2aでくくります。

5行目は、左辺のaの係数を1にするために、
左辺と右辺に、aの係数の逆数をかけました。
すると、うまい形で、9+√17を処理することが
できるようになりました。

よって、答えはa=1/2となります。

【挑戦状の答え】問1解答・解説

こんばんは。前回、【塾長からの挑戦状】として、
中3数学の塾長オリジナル問題を出題しました。

今回は、その「問1」について、解答・解説を行います。

出題の意図

①「グラフの交点」=「連立方程式」が思い浮かぶか?

どのようなグラフであっても、2つのグラフの交点は、
グラフの式を連立方程式として、x, yを導き、組み合わせを
吟味することが必要となります。

この場合は、y=ax^2, y-1/2x+2 ですので、これらを
次のように連立方程式にします。

②見慣れない文字でも落ち着いて処理できるか?

連立方程式の中に、x, y 以外にも a が表れています。
ただ、今回の問題は、「Bのx座標」が与えられていますので、
これをxに代入すれば、最終的にはaについての1次方程式と
なることに気が付くとOKです。

次回は、問2の解説にうつります。

【塾長からの挑戦状】中3数学、できるかな?

こんばんは。塾長の髙橋です。

講座ご案内用サイトには、久しぶりの投稿となりました。
12月のある日の、中3数学の授業の板書からです。
今年の北海道の高校入試については、
数学は少し難しくなるのでは?と思っています。

そこで、実際に当塾で扱っている、塾長オリジナル問題を
少しだけ公開したいと思います。
みなさんも、もしよろしければ、お楽しみいただければ
と思います。

2次関数

問題はこの画像の通りです。

図のように、放物線 y=ax^2 (ただし a>0)と、
直線 y=-1/2 x+2 とが、2点A,Bで交わって
いるとき、次の問いに答えよ。

問1 Bのx座標が2であるとき、aの値を求めよ。

問2 Aのx座標が (-1-√17)/2 であるとき、
   aの値を求めよ。

問3 問2のとき、△ABOの面積を求めよ。

中3生に挑戦です!

さあ、みなさま、わかりましたでしょうか?
くわしくは、次の更新をおたのしみに!

冬季講習会もお待ちしております!