【数学】因数分解のオハナシ

こんにちは。塾長のタカハシです。

8月に入り、夏期講習のほかに、通常授業で弱点を
克服するレッスンにも取り組んでいます。
今日は、高校1年生の数学「因数分解」からのお話です。

その数に因んだ数に分解する

因んだ数同士の積を、因んだ数ごとに分ける。
これが因数分解という作業です。

たとえば、4という数は、1×4、2×2、4×1…
そのほかにも、(-1)×(-4)、(-2)×(-2)、
(-4)×(-1)の計算結果ですし、

平方根もからめるのであれば、
2√2×√2の計算結果でもあります。

虚数まで考えるのであれば、
ひょっとしたら、(-2)×2×i^2
の計算結果でもありますね。

計算以上に大事なこと

どうも、正負の数、根号、そして虚数のiなど、
数字や記号が出てくると、踊らされる感覚になりませんか。

これがよく、数学=計算、と考える人の陥る思考です。

ちょっと待ってください。
では、なぜ「4」という数がある、それだけで済むような
話を、難しくして「因数分解」などするのでしょうか。

大事なのは、作業の方法ではなく、目的です。

「成り立ち」を知る

先ほども書きましたが、ひとくちに「4」といっても、
4を作る積の形はたくさんありますね。

たとえば、ちょっと話題になった「負の数同士の積」。

こんな問題があったとしましょう。

塾長のタカハシは、最近少しづつ額の前線が
下がってきているように感じ始めたため、2日間で
どれだけ髪の毛が抜けているか数えてみることに
しました。

たしか、話題になったのも、髪の毛の話でしたよね。
子どもさんって、こういう話題、好きですよね…(遠い目)

1日目では、2本の髪の毛が抜けました。
2日目も、2本の髪の毛が抜けました。

…たしかに、「マイナス」ですよね。中年以上の男性、死活問題。

2日前は、今日より何本多く、タカハシの額に
髪の毛があったでしょうか?

失った髪の毛の本数を、「-2本」と表し、さかのぼりたい日数を
「-2日」とカウントすると、
(-2)×(-2)=4本、今日より多く、タカハシの額に髪の毛が
存在していたことになりますね。

では、1日目に2本抜けた原因は何だったでしょうか?
2日目に2本抜けた原因は、何だったでしょうか?

1日目で育毛剤を額に塗らなかったからでしょうか?
1日目のシャンプーに力をかけすぎたからでしょうか?
2日目の寝相が悪く、髪の毛が擦り切れたからでしょうか?

極論ですが、そういうところを分析するのが、
「因数分解」というわけです。

ちゃんと分析しなければ、3日目は10本抜けてしまうかも
しれませんからね。

そのぶん髭が抜けてしまえばいいのに…

それはさておき。

高校1年生になると、「たすきがけによる因数分解」を習います。
(x+α)(x+β)=x^2+(α+β)x+αβ 
この式の展開から、x^2の係数、xの係数、定数項の数について
見当を付けていくやり方ですね。

この問題では、たすきがけを2回実施するという解法となります。

xについて降べきの順に整理

すると、後ろにyの2次式ができます。この2次式をたすき掛けします。

xの2次式としてたすき掛け


あらかじめ、xの1次の係数を、因数分解により明らかにしておきます。
すると、yの2次式をたすき掛けした2つの(  )(  )の式で
たすき掛けができるようになります。

先ほどの髪の毛の話に例えるならば、
【抜け毛xについて議論します!】
→【2日間で2本ずつの抜け毛yが観測されました】
→【この観測データyを使って、数日分の抜け毛xがどうなるか分析しよう】

みたいな感じでしょうか。

結論:因数分解は計算よりも「分析」の作業

今日もお読みいただき、ありがとうございます。

塾長は抜け毛もそうですが、それ以上に白髪が深刻なようです。(>_<;)

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